1. Proyecciones y Distancias
La distancia desde un punto $x_0$ hasta un conjunto $C$ se define como el ínfimo de todas las distancias posibles a puntos dentro del conjunto:
$\text{dist}(x_0, C) = \inf\{\|x_0 - x\| \mid x \in C\}$
El optimizador específico que alcanza esta distancia es el operador de proyección:
$P_C(x_0) = \text{argmin}\{\|x - x_0\| \mid x \in C\}$
Para un plano simple definido por $a^T x = b$, la proyección tiene una hermosa solución en forma cerrada: $P_C(x_0) = x_0 + (b - a^T x_0)a/\|a\|_2^2$. Sin embargo, para conjuntos generales, este problema sigue siendo una optimización con restricciones: minimizar $\|x - x_0\|$ sujeto a $f_i(x) \leq 0$ y $Ax = b$.
2. Geometría Funcional
Para tratar las restricciones geométricas como componentes objetivos, empleamos dos potentes 'espejos' funcionales:
- La Función Indicadora $I_C(x)$: $I_C(x) = \begin{cases} 0 & x \in C \\ +\infty & x \notin C \end{cases}$. Esto reduce la geometría a una penalización numérica.
- La Función de Soporte $S_C(x)$: $S_C(x) = \sup_{y \in C} x^T y$. Esto caracteriza el conjunto mediante sus hiperplanos de frontera en todas las direcciones.
Un conjunto no vacío y cerrado $C \in \mathbf{R}^n$ es un conjunto de Chebyshev (que posee una proyección única para cada $x_0$) si y solo si es convexo.
Supongamos que $C$ es convexo y la norma es estrictamente convexa. Si hubiera dos puntos distintos más cercanos $u, v \in C$ con $\|u - x_0\| = \|v - x_0\| = d$, entonces su punto medio $w = (u+v)/2$ estaría en $C$ (por convexidad).
Por la convexidad estricta de la norma: $\|w - x_0\| = \|\frac{1}{2}(u - x_0) + \frac{1}{2}(v - x_0)\| < \frac{1}{2}\|u - x_0\| + \frac{1}{2}\|v - x_0\| = d$.
Esto contradice la suposición de que $d$ era la distancia mínima. Por tanto, la proyección debe ser única.
Advertencia 8.4: Dependencia de la Norma
A menudo construimos un hiperplano separador usando: $(P_C(x_0) - x_0)^T (x - (1/2)(x_0 + P_C(x_0))) = 0$. ¡Cuidado! Esta construcción específica es válida solo para la norma euclidiana. Las normas generales requieren tratamientos más sutiles de la ortogonalidad.